罗小明——立体几何线线垂直问题的多种证明方法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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——用多种方法证明线线垂直问题

湖南省益阳市牌口学校    罗小明

证明线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面垂直、面面平行是高中立体几何经常遇到的问题，它们之间相互联系，相互转化，同时还需要我们进行适当的运算，才能达到目的.我们通过融合前后所学知识点，通过各种方法来完成证明任务，以此达到触类旁通，内化为自己所能.下面介绍一道用多种方法来证明线线垂直的问题，希望能够打通各种证题思路，夯实学习基本功，为您带来一点启示与帮助.

一、问题呈现

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M为PG的中点.

（1）求证：PB⊥DM；

（2）求AC与PD所成角的余弦值.

二、问题解决

下面着重探究第（1）小问的各种证法，第（2）小问解答从略.

证法一:坐标法

如图1，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，不妨设PA=AD=AB=2BC=4，则A（0,0,0）,B（4,0,0）,C（4,2,0）,D（0,4,0），P（0,0,4），M（2，1，2），

评析：此法采取“坐标法”来计算向量PB和向量DM的数量积为零来证明PB⊥DM.建立恰当的空间直角坐标系，把相关点的坐标一一表示出来，这里注意到已知线段之间的倍数关系，设较长线段长度为常数4便于用整数来表示所有向量坐标，从而可简化计算.此法要求对相关点必须准确表示，应用好数形结合思想.

证法二:应用一条直线平行于另一条直线所在平面的法向量

如图2，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，不妨设PA=AD=AB=2BC=4，连接AM，则A（0,0,0），B（4,0,0），C（4,2,0），D（0,4,0），P（0,0,4），M（2，1，2），

评析：我们不难发现AD⊥平面PAB，得到PB⊥AD，又要证此法PB⊥DM，由此可以推断PB⊥平面ADM.于是问题可转化为证PB与平面ADM的法向量是平行向量.

  证法三:基向量法

评析：此法采取“基向量法”来证明PM⊥DM.先以向量AB、向量AD、向量AD为一组基底向量，且设题设中较长线段的长度为2，然后通过向量运算即可证明.此法多次利用垂直向量的数量积为零的等价性，证明过程直截了当，只需耐心运算就能完成目标.

证法四:平移变换+勾股定理的逆定理

如图4，过点M作MN∥PB交BC于点N，过点N作NE∥AB交AD于点E，过点C作CF∥AB交AD于点F，连接DN.不妨设PA=AD=AB=2BC=4，易得AE=BN=NC=1，NE=AB=4，DE=AD-AE=4-1=3，DF=AD-AF=AD-BC=2，因为∠BAD=90°，NE∥AB，所以NE⊥AD，

评析：此法通过三角形的中位线性质，采取平移变换将PB平移至MN的位置，多次构造Rt△，利用勾股定理计算有关线段长，另外在△CDP中利用中线定理求中线DM的长是难点.最后由勾股定理的逆定理来证明△MDN为Rt△，从而得到∠DMN=90°，于是MN⊥MD，进而PB⊥DM.

 证法五:应用线面垂直来证线线垂直

如图5，过点M作MN∥PB交BC于点N，连接AM，AN.不妨设PA=AD=AB=2BC=4，则BN=1，

所以△AMN为直角三角形，且∠AMN=90°，

所以MN⊥AM.又MN∥PB，所以PB⊥AM.   （*）

因为PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，

所以PA⊥AD.又因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB.

所以AD⊥平面APB,而PB平面APB，

所以AD⊥PB.    （**）

由（*）和（**）可证：PB⊥平面AMD.

因为DM平面AMD，所以PB⊥DM.

评析：此法先通过平移变换将线段PB平移至MN的位置，证明△AMN为直角三角形，得出MN⊥AM，从而有PB⊥AM.再通过题设证出PB⊥AD，于是有PB⊥平面AMD，而线段DM在此平面内，因此显而易证PB⊥DM.证明主要采取通过线面垂直来完成线线垂直的目标,证明过程中多次用到线面垂直与线线垂直的内在关系.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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